4之平面向量 
  
.向量的基本概念与基本运算 
、向量的概念： 
 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． 
0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行 
1个单位长度的向量 
：方向相同或相反的非零向量  
  
、向量加法：设,ABaBCbuuuruuurrr，则a+br=ABBCuuuruuur=ACuuur 
1）aaa00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 
BCCDPQQRARuuuruuuruuuruuuruuuruuurL
． 
、向量的减法：  ① 相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量 
向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，③作图法：ba可以表示为从b的终点指向a的终点
a、b有共同起点） 
、实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下： 
aa； （Ⅱ）当0时，λa的方向与a的方向相同；当0时，λa的方向与a的方向
0时，0a，方向是任意的 
、两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b=
 
、平面向量的基本定理：如果
1,ee是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只

1,使：2211eea，其中不共线的向量21,ee叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 
.平面向量的坐标表示 
平面向量的坐标表示：平面内的任一向量ar可表示成axiyjrrr，记作ar=(x,y)。  
平面向量的坐标运算： 
 若
122,,,axybxyrr，则1212,abxxyyrr 
 若
211,,,yxByxA，则
121,ABxxyyuuur 
 若ar=(x,y)，则ar=(x, y) 
 若
122,,,axybxyrr，则1221//0abxyxyrr 
 若
122,,,axybxyrr，则1212abxxyyrr 
abrr，则0
121yyxx 
 
两个向量的数量积： 
ar与br，它们的夹角为，则ar·br=︱ar︱·︱br︱cos 
ar与br的数量积（或内积） 规定00arr 
向量的投影：︱br︱cos=
|abarrr∈R，称为向量br在ar方向上的投影投影的绝对值称为射影 
数量积的几何意义： ar·br等于ar的长度与br在ar方向上的投影的乘积 
向量的模与平方的关系：22||aaaarrrr 
乘法公式成立：  


2
babababrrrrrrrr
 

2
abaabbrrrrrr222aabbrrrr

平面向量数量积的运算律： 
abbarrrr 
abababRrrrrrr 
abcacbcrrrrrrrcabrrr 
（1）结合律不成立：abcabcrrrrrr； 
2）消去律不成立abacrrrr不能得到bcrr 
3）abrr=0不能得到ar=0r或br=0r 
两个向量的数量积的坐标运算： 

122(,),(,)axybxyrr，则ar·br=1212xxyy 
向量的夹角：已知两个非零向量ar与br，作OAuuur=ar, OBuuur=br,则∠AOB= （001800）叫做向量ar与br的
 
=cos,abab
b??rrrrrr=2
2221212121yxyxyyxx 
ar与br同方向时，θ=00，当且仅当ar与br反方向时θ=1800，同时0r与其它任何非零向量
 
垂直：如果ar与br的夹角为900则称ar与br垂直，记作ar⊥br 
两个非零向量垂直的充要条件： 

ba·b＝O0
121yyxx平面向量数量积的性质